Se llama sucesión a un
conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1,
a2, a3 ,..., an
3, 6,
9,..., 3n
Los
números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos
de la sucesión.
El
subíndice indica el lugar
que el término ocupa en
la sucesión.
El
término general es an es un
criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN
Por el
término general
an= 2n-1
a1= 2 ·1 - 1 = 1
a2= 2 ·2 - 1 = 3
a3= 2 ·3 - 1 = 5
a4= 2 ·4 - 1 = 7
1, 3, 5, 7,..., 2n-1
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
Por una
ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada
término es el cuadrado del anterior.
2, 4, 16, ...
Sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los
dos términos anteriores.
Operaciones
con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1,
a2, a3, ..., an
bn= b1,
b2, b3, ..., bn
Suma de
sucesiones
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn)
= (a1 + b1, a2 + b2, a3 +
b3, ..., an + bn)
Propiedades
1. Asociativa:
(an + bn) + cn = an +
(bn + c n)
2. Conmutativa:
an + bn =
bn + a n
3. Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
4. Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ...,
-an)
an + (-an)
= 0
Diferencia de sucesiones
(an) - (bn)
= (an - bn)
(an) - (bn)
= (a1 - b1, a2 - b2, a3 -
b3, ..., an - bn)
Producto
de sucesiones
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn)
= (a1 · b1, a2 · b2, a3 ·
b3, ..., an · bn)
Propiedades
1. Asociativa:
(an · bn) · c n = an ·
(bn · c n)
2. Conmutativa:
an · bn =
bn · a n
3. Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4. Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an ·
bn + an · c n
Sucesión
inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son
distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa
es:
Cociente
de sucesiones
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es
inversible.
Tipos de
sucesiones
Sucesiones
monótonas
Sucesiones
estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada
término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones
crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o
igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Sucesiones
estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada
término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Sucesiones
decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la
sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones
constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son
iguales, an= k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...
Sucesiones
acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos
son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cotainferior de
la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es
convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.
Sucesiones
acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos
son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota
superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que
tienen límite finito.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es
convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.
Sucesiones
acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos
los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos
los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la
sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Sucesiones
convergentes
Límite = 0
Límite = 1
Sucesiones
divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite
finito.
Límite = ∞
Sucesiones
oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes.
Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Sucesiones
alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de
sus términos. Pueden ser:
Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.
Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n
Ejemplos:
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Es creciente.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El mínimo es 1.
No está acotada superiormente.
Divergente
bn = -1, -2, -3, -4, -5, ... -n
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente.
Divergente
cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El ínfimo es 1.
Convergente, límite = 1.
dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-12n
No es monótona.
No está acotada.
No es convergente ni divergente.
No hay comentarios:
Publicar un comentario